Perfiles transversales con áreas y volúmenes

Objetivos

El principal objetivo de esta entrada es explicar de la mejor manera el procedimiento necesario para la elaboración de perfiles transversales con sus respectivos cálculos de áreas y volúmenes 

¿Para qué se establece el ejercicio trabajado durante la explicación?

• Conocer el método mediante el cual es posible sacar las alturas de un punto apoyados en una altura anterior, distancia y curva de nivel.
• Entender los conceptos básicos necesarios para la elaboración del perfil.
• Aprender a determinar pendientes basados en la información facilitada.
• Comprender la manera adecuada de calcular áreas y volúmenes  a partir de coordenadas

Indicaciones

1. A partir de los datos que se brindan en el gráfico, realice los perfiles transversales para secciones de 25 metros a ambos lados del perfil longitudinal con cadenamientos de 0+050
2. Determine la pendiente entre las lineas del perfil longitudinal.
3. Calcule el área y el volumen total de los movimientos de tierra de la carretera  

Introducción a conceptos

¿Qué es un perfil transversal?

Un perfil transversal es toda aquella línea imaginaria que atraviesa un objeto de interés a lo ancho de él. Como se mencionó en el blog anterior, también existen los perfiles longitudinales, los cuales cortan el objeto a lo largo de él. 

Los mismos son de ayuda a la hora de querer ver las características internas de un objeto o terreno, ya que de manera visual no son tan evidentes o no se obtiene la información necesaria.

¿Qué es una pendiente? 

Una pendiente es la inclinación que obtiene una recta  con respecto a un plano horizontal. 

En la imagen anterior podemos ver un ejemplo de lo explicado anteriormente donde r representa la inclinación. 

Para encontrar el porcentaje de inclinación de una recta existe la siguiente fórmula:

Donde:

DH = La altura del objeto

D = Distancia

Se multiplica por 100 debido a que lo que se se busca obtener es el porcentaje. En caso de que se desee calcular únicamente el factor de inclinación se debe omitir la multiplicación.

Una buena manera de visualizar como funciona el sistema de porcentaje de pendiente es sabiendo que, por cada 100 metros, la pendiente sube cierta distancia. Por ejemplo, en una pendiente del 10%, la distancia que sube por cada 100 metros es de 10 metros.

En una pendiente del 5%, en 100 metros subiría 5 metros, así con todos los casos. Esta es una forma fácil de entender este tema. 

¿Qué son volúmenes y áreas?

 El área se corresponde con la extensión de una superficie, mientras que el volumen nos señala el espacio que ocupa un objeto.

En este blog se hablará más adelante de  "Corte" y "Relleno", los cuales serán imprescindibles cuando calculemos las áreas y los volúmenes. Cuando se habla de Corte se habla de las zonas en donde es necesario retirar material y cuando se menciona Relleno se hace hincapié en las zonas en las cuales se debe adicionar material.

Procedimiento

Trazado de perfiles

En primera instancia es importante destacar que el gráfico de la carretera se encuentra a una escala de 1:2500 y que la extensión total de la carretera es de 524 metros. Esto en lo físico, ya que la imagen mostrada no tiene escala definida

Para comenzar a realizar este trabajo lo primero que se hizo fue elaborar una guía de donde se ubicarían las transversales de cada sección indicada en las instrucciones.

Para comenzar a hacer esto, se realizaron marcas a cada 50 metros en la línea central de la carretera. Seguidamente en cada punto se hizo uso de un transportador para asegurar que las líneas que se trazarían posteriormente fueran de 90°, este trazo se hizo de una longitud total de 50 metros, siendo 25 metros a cada lado de la línea central de carretera. 

Lo anterior nos servirá como una guía indispensable a la hora de calcular las alturas de cada uno de los puntos pertinentes. 

Para determinar las elevaciones de los vértices marcados utilizamos la siguiente fórmula: 

En donde:

Dp: Distancia de punto a punto

DHT = Separación entre las curvas

DT= Distancia total

DHp = Diferencia al punto de altura a representar

En este proceso hay que tener mucho cuidado ya que es necesario apoyarse  en la curva de nivel más cercana al punto que se está determinando. Por lo tanto, para determinar la elevación del punto B desde el Punto A se pone  en Dp la distancia que hay del punto A al punto B la cual en nuestro caso es de 50 metros en la mayoría de los casos; En DHT ponemos la resta entre la altura de la curva más cercana y la altura del punto A, la cual ya es conocida y por último; en DT ponemos la distancia que hay desde el punto A hasta donde la recta toca la curva de nivel. 

El resultado que nos da debemos sumarlo a la altura anterior ya que, como se definió anteriormente,  el DHp es la diferencia al punto de altura a representar, por lo tanto es importante comprender que con esta fórmula no obtenemos directamente la altura del punto sino que adquirimos el valor resultante de la resta de ambas alturas. 

Para este trabajo las alturas fueron las siguientes:

Habiendo realizado todos lo cálculos pertinentes se procede a dibujar cada uno de los perfiles transversales, para hacer esto simplemente escogemos las escalas que vamos a utilizar, en este caso la escala en el eje X es de 1:50, mientras que en el eje Y la escala es de 1:20. En el blog anterior se explica más detalladamente el asunto de las escalas en los perfiles. Una vez determinadas las escalas escogemos una altura base para cada perfil y dependiendo de esta altura base subimos lo que nos haga falta para llegar a la altura de cada punto. 

El resultado fue el siguiente:

Luego se calcula el porcentaje de pendiente de cada uno de los tramos de la carretera con la fórmula proporcionada al principio del blog dando como resultado que, en el tramo 1 el porcentaje de pendiente fue de un 5.04%, mientras que en el tramo 2 fue de un 0.07%.

Calculo de áreas y volúmenes para relleno y corte

 Para sacar las áreas es importante saber con cual figura se está trabajando, sin embargo, en el caso de terrenos, los polígonos con los cuales se trabaja no suelen ser figuras ya definidas, por lo que en la topografía se utiliza la fórmula de herón.

La fórmula de heron hace uso de las coordenadas rectangulares de una figura para determinar el área que esta tiene. Para explicar esto de una mejor manera se muestra el siguiente vídeo:

De la misma manera se hará para determinar el área de cada una de las secciones que se determinaron con anterioridad con la diferencia de que el eje Y representa a las coordenadas en Norte, mientras que el eje X representa a las coordenadas en Este.

La interrogate ahora es saber cuales son las coordenadas de los puntos, dado que no tenemos información acerca de eso, para resolver esto se debe saber que las coordenadas que se van a utilizar no son las verdaderas coordenadas, sino que son coordenadas que generamos a partir de las distancias que tenemos ya establecidas.

Para hacer una mejor explicación vamos a tomar la siguiente imagen:

Como se puede observar, en la ilustración ya los valores de las coordenadas o  pares ordenados ya están asignados. Para hacer esto se debe tener primero en consideración si se trata de una sección de corte o de relleno, para conocer este dato debemos realizar un perfil longitudinal de la carretera. Se nos da ya establecido que se trabajara con una pendiente del 5% y que el espesor de corte señalado con C es de 0.5 en el primer cadenamiento, quedando el siguiente resultado:

La altura de este perfil está aumentada 20 veces con respecto a la distancia horizontal para que se pueda apreciar mejor donde se encuentra la zona de corte y la zona de relleno.


 Continuando con el área:

En primera instancia nos dan el valor de C. Al conocer este valor bajamos desde la zona central de la carretera la distancia que C indica. El final de la línea que se acaba de trazar, representada en color naranja, va a ser el par ordenado (0,0). Es a partir de acá que se va a dar coordenada a los demás puntos.

Tomemos en cuenta la estructura del plano cartesiano con los signos correspondientes en cada cuadrante:

Tomando en cuenta el (0,0) del talud debemos asignar los valores del resto de vértices considerando los signos dependiendo del cuadrante en que se encuentren.

Para conocer el valor del punto central sabemos que no nos movemos en X, por lo tanto su valor es cero, y nos movemos hacía arriba en Y, por lo tanto su valor es el mismo del espesor (C) en signo positivo ya que se mueve hacía arriba a partir del punto (0,0).

Para conocer el resto de puntos debemos saber la distancia que mueve en X, en este caso sabemos que la carretera tiene 25 metros a cada lado por lo que los pares ordenados serán +25 en la derecha y -25 en la izquierda. Y para saber Y debemos saber la diferencia de altura que hay con respecto del punto central y el lado al que se desea dar altura; para esto hacemos uso de la tabla de alturas adjunta anteriormente. Si estas alturas se encuentran sobre la línea horizontal del (0,0) entonces tendrán signo positivo, y si se encuentran por debajo su signo será negativo.

Sabiendo esto simplemente se sacan las áreas. Es importante recalcar que si se trata de una sección de corte el resultado del área debe dar negativo; en caso de que sea relleno el resultado del área debe ser positivo.

Los resultados de las áreas fueron los siguientes:

Unidades en metros

Una vez tenemos las áreas podemos sacar los volúmenes que necesitamos, para esto sacamos un promedio entre 2 áreas y se multiplica por la distancia que hay entre punto y punto.

Con la imagen anterior se puede comprender de una mejor forma la manera adecuada de determinar un volumen.Es importante recalcar que los signos de las áreas se deben respetar. Este procedimiento se va a hacer con cada uno de los cadenamientos. Una vez se tengan los resultados de todos. se sumarán entre sí para que de está manera se conozca el volumen total de movimientos de tierra.

El recuadro indicado con rojo señala el volumen total de movimiento de tierra. 

Ya con lo anterior se puede dar por terminado el procedimiento en su totalidad.

Análisis

Este procedimiento a pesar de poseer muchos pasos para determinar los valores finales, es capaz de ayudar a comprender de manera conceptual y gráfica lo que es un perfil transversal y el calculo de áreas y volúmenes.

Es evidente que gracias a la tecnología presente en la actualidad es mucho más sencillo elaborar este procedimiento, sin embargo la importancia de conocer este método recae en  que el mismo requiere de una comprensión total para poder ser ejecutado, mientras que por los medios tecnológicos no es estrictamente necesario tener tales conocimientos.

A la hora de estudiar una ingeniería  es indispensable que el profesional entienda el trasfondo de todo lo que hace y que sea capaz de realizar un trabajo sin tener mediante programas de software que hagan todos lo procesos pertinentes.

De la misma manera se espera que personas que no son estudiantes de tales carreras ni las ejercen tengan el deseo y la capacidad de conocer mejor esta clase de procedimientos.

Referencias

 fisica46 (2011). Área de un triangulo dadas sus coordenadas. YouTube. Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=hC2zIrc8Tyo

Isaac Valdés Velazquez. Area y perimetro de figuras geometricas. Monografías. Recuperado de: https://www.monografias.com/docs110/area-y-perimetro-figuras-geometricas/area-y-perimetro-figuras-geometricas.shtml

Juan José Lopez. La pendiente de una carretera - Proyecto Gauss. GeoGebra. Recuperado de: https://www.geogebra.org/m/NSKsdEfY

Pérez y Merino (2009). Definición de pendiente. Definición. Recuperado de:  https://definicion.de/pendiente/